[very Ot] 0,999~ = 1 ??

[aott]

Lo so che non c'entra niente con UODreams, ma PREGO i moderatori di chiudere un occhio questa volta. Lo posterei volentieri sul forum generale, ma non verrebbe letto da nessuno. Se lo faccio sul forum spam, il 90% dei reply saranno smile strani.. Quindi plz non spostatemelo che probabilmente sarà una discussione molto interessante.

~ (per scriverlo: alt + 126) significa periodico. La domanda e': "Zero virgola nove periodico e' uguale a uno"? Lo spunto mi viene dal forum di WOW, dove sono già stati aperti 3 thread, di cui il primo ha superato le 100 pagine e oggi e' stato aperto il terzo.

Vi dico 5 motivi per cui 0,9~ = 1:
1.
1 / 3 * 3 = 0,9~
Quindi 0,9~ = 1

2.
x = 0.999...
multiply both sides by 10


10x = 9.999...
subtract the first equation from the second


9x = 9
so


x = 1.
Essentially you are observing that 9x + x = 9 + x, which is true, and then concluding that 9x = 9. That's a valid inference, if x is cancellable. A skeptic would say that 9x = 8.999..., which is different from 9, even though when we add x to each of them we get the same thing. The skeptic's intuition that 0.999... is not equal to 1 conflicts with the intuition that we should be able to cancel x. Which of those intuitions should take precedence?

3.
Yet a third kind of argument proffered by believers is that


0.999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...
and the sum of the geometric series on the right is


(9/10)/(1-1/10) = 1.

4.
There is a theorem in mathematics that states that between any 2 distinct real numbers, there exist an infinite amount of real numbers distinct from those two. Now suppose 0.999~ and 1 are different, then there must be at least one real number between those two. Since a real number can be represented by a countable sequence of digits (countable meaning that any digit in the sequence can be given a number indicating its position in the sequence, even though the sequence itself might be unending), one can find the first digit of this "number-in-between" that differs from the never-ending sequence 0.999~. Since this digit can only be less than 9, we can conclude that this "in-between-number" is actually smaller than 0.999~. But this contradicts the assumption that this number lies between 0.999~ and 1. Therefore, our initial assumption, that there exists such a number can't be correct. So no number exists between 0.999~ and 1 and by the theorem i stated earlier, these two numbers cannor be distinct.

5.
08/05/2005 01:59 AM Lemmo: sai come se convertono i num decimali in frazioni?
08/05/2005 02:00 AM Koper: No.. L'avevo fatto alle elementari però
08/05/2005 02:00 AM Lemmo: o il contrario ? :\
08/05/2005 02:00 AM Koper: No
08/05/2005 02:00 AM Lemmo: mh
08/05/2005 02:01 AM Lemmo: allora
08/05/2005 02:04 AM Lemmo: tu hai un numero decimale
08/05/2005 02:04 AM Lemmo: 3.42
08/05/2005 02:04 AM Lemmo: e lo vuoi portare in frazione
08/05/2005 02:05 AM Lemmo: come nominatore fai il numero intero senza virgola - la parte nn periodica
08/05/2005 02:06 AM Lemmo: qnd 3429 - 342
08/05/2005 02:06 AM Lemmo: e come denominatore la parte periodica + tanti zeri quanti la sua posizione dopo la virgola
08/05/2005 02:06 AM Lemmo: qnd in 3.429 la posizione dopo la virgola è due
08/05/2005 02:07 AM Lemmo: qnd è 3429 - 342 / 900
08/05/2005 02:08 AM Lemmo: allora quando vai a fare 0.9 periodico in frazione
08/05/2005 02:08 AM Lemmo: viene 09 - 0 / 9
08/05/2005 02:08 AM Lemmo: che è 1
08/05/2005 02:09 AM Lemmo: il numero intero senza virgola - la parte prima del periodo / il periodo con tanti zeri quant'è la sua pos dopo la virgola


Dite la vostra!

NON SPAMMATE: Se pensate che sia troppo difficile, che sia una cosa inutile, che sia pazzo o cose del genere non rispondete. Rispondete solo per dare una vostra opinione sensata all'argomento.

[rogermcallen]

io non sono daccordo...

per esempio alla fine se vai a fare dei calcoli di matematica finanziaria... tipo un piano di ammortamento in 10 anni, alla fine il debito residuo nn ti tornerà 0 ma qualkosa in + o in meno...

mi è capitato proprio l'altro giorno al compito di economia appunto, su un piano di ammortamento in 5 anni, e per via di quel periodico alla fine tornavano 0.2 euro-cent in +!

[Araton]

Se con n indichiamo il numero di cifre decimali (quindi il numero di '9' dopo la virgola), al tendere di n all'infinito il numero si avvicinerà sempre più al valore 1 senza mai rappresentarlo.
Ragionando per assurdo se 1 e 0,999~ fossero uguali 1 - 0,999~ = 0 ... ma 1 - 0,999~ = 0.000~1 che è ben diverso da 0.

Quindi imho 0,999~ != 1

Se mi leggesse un matematico, per come ho esposto i miei pensieri mi metterebbe al rogo

[aott]

Originally posted by Irvine
Se con n indichiamo il numero di cifre decimali (quindi il numero di '9' dopo la virgola), al tendere di n all'infinito il numero si avvicinerà sempre più al valore 1 senza mai rappresentarlo.
Ragionando per assurdo se 1 e 0,999~ fossero uguali 1 - 0,999~ = 0 ... ma 1 - 0,999~ = 0.000~1 che è ben diverso da 0.

Quindi imho 0,999~ != 1

Se mi leggesse un matematico, per come ho esposto i miei pensieri mi metterebbe al rogo

Su questo anche io ci avevo pensato.. E anche se prima ero convinto del contrario alla fine sono arrivato a dire questo. 0,0~1 significa "infiniti zeri con alla fine un uno". L'infinito per definizione non finisce, quindi 0,0~1 NON può esistere perché non e' logico dire che "alla fine dell'infinito c'è un 1". Ulteriore dimostrazione che 0,9~ = 1.

[aott]

Originally posted by TM RogerMcAllen
io non sono daccordo...

per esempio alla fine se vai a fare dei calcoli di matematica finanziaria... tipo un piano di ammortamento in 10 anni, alla fine il debito residuo nn ti tornerà 0 ma qualkosa in + o in meno...

mi è capitato proprio l'altro giorno al compito di economia appunto, su un piano di ammortamento in 5 anni, e per via di quel periodico alla fine tornavano 0.2 euro-cent in +!

Mettendo da parte che non capisco come si fa a ragionare con gli esponenziali in economia (Vengono 3,4~ euro, grazie ) che calcolo hai fatto? O_o

[Araton]

Originally posted by Koper
Su questo anche io ci avevo pensato.. E anche se prima ero convinto del contrario alla fine sono arrivato a dire questo. 0,0~1 significa "infiniti zeri con alla fine un uno". L'infinito per definizione non finisce, quindi 0,0~1 NON può esistere perché non e' logico dire che "alla fine dell'infinito c'è un 1". Ulteriore dimostrazione che 0,9~ = 1.

Non hai dimostrato nulla . Quella scrittura significa semplicemente che l'ultima di un numero imprecisato di cifre dopo la virgola è 1 stop . E` lampante che 0.0~1 è diverso da 0

[aott]

Originally posted by Irvine


Non hai dimostrato nulla . Quella scrittura significa semplicemente che l'ultima di un numero imprecisato di cifre dopo la virgola è 1 stop . E` lampante che 0.0~1 è diverso da 0

Definizione di numero periodico: Un numero o una sequenza di numeri che si ripete all'infinito (e non per un numero "imprecisato" di volte come hai detto tu).
Definizione di infinito: Una cosa che non finisce mai.

Dire che alla fine dello 0,0 periodico c'è un 1 e' uguale a dire: Alla fine dell'infinito c'è un 1. Non ha senso. E' come se uno dice "Il libro rosso e' blu"

Se c'è un modo per dimostrare che 0,9~ e' diverso da 1 non e' questo

Forse mi chiederai: Ma 1 - 0,9~ come fa a venire un numero che non esiste?
Risposta: Siccome 0,9~ = 1, facendo 1 - 0,9~ fai in realtà 1 - 1 che da 0 e basta

Inoltre, supponendo per assurdo che 0,0~1 esiste (e non esiste), verrebbe che 0,0~1 = 0. Fai 10 / 0, viene infinito. Fai 10 / 0,0~1.. Cosa viene?

[Araton]

Fonte: http://www.vialattea.net/esperti/mat/periodici.htm

La proprietà 2 giustifica quello che ho detto.

q = 1/[(10^r)-1] Se fai tendere r all'infinito il numero q sarà uguale a 0.000.....1

[Araton]

Originally posted by Koper
Fai 10 / 0, viene infinito.

omg Kop ma che vai dicendo?

10/0 infinito O_O ?

10 / 0 è un'operazione priva di significato per definizione di divisione .......... poichè non esiste nessun numero che moltiplicato per 0 dia 10.

Originally posted by Koper
Fai 10 / 0,0~1.. Cosa viene?

Un numero MOOOOOOOOOOOOOOOOOLTO grande

[aott]

Originally posted by Irvine
Fonte: http://www.vialattea.net/esperti/mat/periodici.htm

La proprietà 2 giustifica quello che ho detto.

q = 1/[(10^r)-1] Se fai tendere r all'infinito il numero q sarà uguale a 0.000.....1

Intende che se r = 1 c'è un solo numero periodico, se r = 2 ce ne sono 2, e così via. Esempio:
r = 1
1/[(10^1)-1] = 1 / 9 = 0,1~ (0,111111)

r = 2
1/[(10^2)-1] = 1 / 99 = 0,(01~) (0,010101)

La dicitura q=0.0…1 credo sia un errore di stampa perché:
1. Come vedi tu stesso 1 / 9 fa 0,1 e non 0,0
2. Anche se accetti che ci possa essere qualcosa alla fine dell'infinito, in questo caso non c'è proprio.

[Araton]

Non è un errore di stampa intende dire che la parte periodica che si ripete è lunga r cifre .

Che poi non è una questione di infiniti zeri prima dell'1.

1 - 0.9 = 0.1
1 - 0.99 = 0.01
1 - 0.999 = 0.001

Ad n nove dopo la virgola corrispondono n-1 zeri ... se fai tendere il numero di nove all'infinito avrai infinito-1 zeri dopo la virgola . E` una quantità astratta come è astratto il fatto che si fa tendere il numero di nove all'infinito

La reale spiegazione è questa non tanto quella proprietà che avevo detto prima, avevo confuso un po la cosa... quella indicava il numero di cifre periodiche che si ripetono

[Araton]

Re: [very Ot] 0,999~ = 1 ??

Aggiungo:

Originally posted by Koper
1 / 3 * 3 = 0,9~
Quindi 0,9~ = 1

Grande cavolata

ognuno di noi ricorda la maestra delle elementari che dice: "Se dividiamo e moltiplichiamo un'espressione per lo stesso numero il risultato non cambia "

1 / 3 * 3 = 1 non 0.9~ :P

[Scorna]

A parer mio è solo un paradosso.
Il fatto che non si possa rappresentare graficamente e/o matematicamente non vuol dire che 1 e 0,9~ siano la solita cifra.

Magari ho detto una capperata ma, a mio parere, è lampante la differenza tra 0,9~ e 1... comunque vada gli manca un capellino per essere 1^^

Cmq un po' di ragione a Koper gliela do^^

1/3 = 0,3~
quindi
1 = 0,3~ * 3

(non mi ricordo la regola precisa ma ho applicato il solito moltiplicatore alle 2 parti x/3= y ; x= y*3)

Ciauz

[Vash1986]

Re: [very Ot] 0,999~ = 1 ??

Originally posted by Koper
[B]
1.
1 / 3 * 3 = 0,9~
Quindi 0,9~ = 1

2.
x = 0.999...
multiply both sides by 10


10x = 9.999...
subtract the first equation from the second


9x = 9
so


x = 1.
Essentially you are observing that 9x + x = 9 + x, which is true, and then concluding that 9x = 9. That's a valid inference, if x is cancellable. A skeptic would say that 9x = 8.999..., which is different from 9, even though when we add x to each of them we get the same thing. The skeptic's intuition that 0.999... is not equal to 1 conflicts with the intuition that we should be able to cancel x. Which of those intuitions should take precedence?

3.
Yet a third kind of argument proffered by believers is that


0.999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...
and the sum of the geometric series on the right is


(9/10)/(1-1/10) = 1.

mi secca leggere il 4 e il 5 perciò ti rispondo su questi primi 3

nel caso 1...
1 / 3 * 3 non fa assolutamente 0,9~
anzi fa 1 bello tondo, prova con la calcolatrice
ottieni 0,9~ solo con approssimazioni manuali

nel caso 2...
sottrarre le 2 equazioni? da quando in qua esiste una tale proprietà delle equazioni?
si può fare solo nei sistemi di equazioni, ma qui non abbiamo un sistema di equazioni.

nel caso 3...
purtroppo non ho studiato ancora quelle che lui chiama "serie geometriche" ma sono abbastanza sicuro che ci sia un errore concettuale in quello che scrive.

cmq, per rispondere a

quote: Originally posted by Koper
Fai 10 / 0, viene infinito.

10 / 0 è priva di significato come ha già detto irvine
è il limite per x -> n di n/0 che tende a infinito (tende, ok? non è...)
tra l'altro 10/0 è un calcolo aritmetico, il limite è strettamente collegato ad analisi grafica (intorni, funzioni ecc)

[Kalindor]

Re: Re: [very Ot] 0,999~ = 1 ??

Originally posted by Vash
nel caso 1...
1 / 3 * 3 non fa assolutamente 0,9~
anzi fa 1 bello tondo, prova con la calcolatrice

è vero!